Takeshi Fukao, Department of Mathematics, Kyoto University of Education

研究室: A棟4階 1A401
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研究Research

研究内容: 数学

非線形解析学

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 自然科学に現れる様々な現象は、数理モデル化と呼ばれる事象の数値化や本質の抽出などを経て数学の問題である微分方程式によって記述することができる。 時間経過と空間の広がりの変数に注目した偏微分方程式のなかで、特に放物型と呼ばれる方程式や複数の方程式が相互に影響し合う連立偏微分方程式系についてその可解性の研究を行っている。 一般に重ね合わせの原理が成立しない非線形の偏微分方程式に対して、解を具体的に表示することは困難である場合が多い。 そこでまずは解の存在と一意性を保証することが最初の目標となる。そのため解の意味を弱い意味で定義し、Sobolev空間と呼ばれる関数空間で解を捉える手法が効果的である。 複雑な非線形性を伴う偏微分方程式について、無限次元関数空間上の常微分方程式とみなす発展方程式の理論を用いてその可解性を研究している。 また制約条件を含む問題に対する発展方程式は変分不等式として記述できるが、方程式の持つ構造と制約条件の関係が可解性に及ぼす影響にも興味がある。
 学部ゼミでは「Lebesgue積分」や「Banach空間」「線形汎関数」「共役空間」などの関数解析の理論を中心に、大学院ゼミではさらに「Schwartz超関数」「Sobolev空間」「極大単調作用素」「発展方程式」などの既存の理論を学んだ上でその応用について研究を行う。

math

* 相転移現象を記述する非線形放物型方程式の可解性
* 領域の時間依存性がおよぼす非線形熱方程式の可解性への影響
* 自由境界問題の弱形式に対する発展方程式の可解性
* 非線形熱方程式とNavier-Stokes 方程式の連立系の可解性
* 障害物を持つ熱方程式とNavier-Stokes 方程式の連立系の可解性
* 流体の運動を記述する偏微分方程式の制約問題
* 非Newton流体の運動を記述する偏微分方程式の可解性
* 力学的境界条件とその周辺

研究内容: 数学教育

関数領域の教材開発

sakura

 平成21年に改訂された高等学校学習指導要領では「数学的活動を通じて」という文言が数学科の目標の文頭におかれた。 「数学的活動」とは数学学習にかかわる目的意識をもった主体的な活動のことであり、その例として、 「自ら課題を見いだし、解決するための構想を立て、考察・処理し、その過程を振り返って得られた結果の意義を考えたり、それを発展させたりすること」 「学習した内容を生活と関連付け、具体的な事象の考察に活用すること」 「自らの考え方を数学的に表現し根拠を明らかにして説明したり、議論したりすること」が挙げられている。 数学科の目標は6つの部分に分けて説明されており、目標を要約すれば、まずは「数学的活動を重視せよ」という趣旨が見て取れる。 そして数学的活動を通じていわゆる「基礎基本の定着を目指す」こと。 その先に「創造性の基礎を培う」「数学のよさを認識し積極的に活用して数学的論拠に基づいて判断する態度を育てる」とある。 積極的な言語活動など従来から数学的活動の3つの例のような 手法で教育活動に取り組んできた教員にとっては当たり前のようなことかもしれないが、 あらためてこのような活動の重要性が確認されたと考えてよい。 そこで、児童・生徒が主体的に目的意識をもって日々の学習に取り組むことができるような教材の開発を目指している。

edu

* モデル化学習
* 微分法の習熟度別学習
* 実験・測定を伴う微分方程式の学習
* モデル化学習を伴う微分方程式の学習
* 最小二乗法の導入学習
* 対数公式に関連した教材開発

 本学大学院へ進学する学生は数学教育に関連する副論文の提出が義務づけられており、 大学院生の自由な発想を中心に数学教育に関する研究も進める。

研究業績

論文(過去5年間)

  1. P. Colli and T. Fukao, Cahn–Hilliard equation on the boundary with bulk condition of Allen–Cahn type, to appear in Adv. Nonlinear Anal. DOI: 10.1515/anona-2018-0055
  2. T. Fukao and T. Motoda, Abstract approach to degenerate parabolic equations with dynamic boundary conditions, Adv. Math. Sci. Appl., 27 (2018), 29–44.
  3. T. Fukao, S. Kurima and T. Yokota, Nonlinear diffusion equations as asymptotic limits of Cahn–Hilliard systems on unbounded domains via Cauchy's criterion, Math. Methods Appl. Sci., 41 (2018), 2590–2601. DOI: 10.1002/mma.4760
  4. T. Fukao and T. Motoda, Nonlinear diffusion equations with Robin boundary conditions as asymptotic limits of Cahn–Hilliard systems, J. Elliptic Parabol. Equ., 4 (2018), 271–291. DOI: 10.1007/s41808-018-0018-1
  5. T. Fukao and N. Yamazaki, A boundary control problem for the equation and dynamic boundary condition of Cahn–Hilliard type, pp.255–280 in "Solvability, Regularity, Optimal Control of Boundary Value Problems for PDEs", Springer INdAM Series, Vol.22, Springer, Cham, 2017. DOI: 10.1007/978-3-319-64489-9_10
  6. T. Fukao, S. Yoshikawa and S. Wada, Structure-preserving finite difference schemes for the Cahn–Hilliard equation with dynamic boundary conditions in the one-dimensional case, Commun. Pure Appl. Anal., 16 (2017), 1915–1938. DOI: 10.3934/cpaa.2017093
  7. T. Fukao, Y. Tsuzuki and T. Yokota, Solvability of p-Laplacian parabolic equations with constraints coupled with Navier–Stokes equations in 3D domains by using largeness of p, Funkcial. Ekvac., 60 (2017), 1–20. DOI: 10.1619/fesi.60.1
  8. M. H. Farshbaf-Shaker, T. Fukao and N. Yamazaki, Lagrange multiplier and singular limit of double-obstacle problems for the Allen–Cahn equation with constraint, Math. Methods Appl. Sci., 40 (2017), 5–21. DOI: 10.1002/mma.3905
  9. T. Fukao, Cahn–Hilliard approach to some degenerate parabolic equations with dynamic boundary conditions, pp.282–291 in "System Modeling and Optimization", IFIP Advances in Information and Communication Technology, Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-55795-3_26
  10. T. Fukao, Convergence of Cahn–Hilliard systems to the Stefan problem with dynamic boundary conditions, Asymptot. Anal., 99 (2016), 1–21. DOI: 10.3233/ASY-161373
  11. P. Colli and T. Fukao, Nonlinear diffusion equations as asymptotic limits of Cahn–Hilliard systems, J. Differential Equations, 260 (2016), 6930–6959. DOI: 10.1016/j.jde.2016.01.032
  12. P. Colli and T. Fukao, The Allen–Cahn equation with dynamic boundary conditions and mass constraints, Math. Methods Appl. Sci., 38 (2015), 3950–3967. DOI: 10.1002/mma.3329
  13. P. Colli and T. Fukao, Equation and dynamic boundary condition of Cahn–Hilliard type with singular potentials, Nonlinear Anal., 127 (2015), 413–433. DOI: 10.1016/j.na.2015.07.011
  14. M. H. Farshbaf-Shaker, T. Fukao and N. Yamazaki, Singular limit of Allen–Cahn equation with constraints and its Lagrange multiplier, pp.418–427 in "Dynamical Systems and Differential Equations, AIMS Proceedings, 2015", American Institute of Mathematical Sciences, 2015. DOI: 10.3934/proc.2015.0418
  15. P. Colli and T. Fukao, Cahn–Hilliard equation with dynamic boundary conditions and mass constraint on the boundary, J. Math. Anal. Appl., 429 (2015), 1190–1213. DOI: 10.1016/j.jmaa.2015.04.057
  16. T. Fukao and N. Kenmochi, Quasi-variational inequality approach to heat convection problems with temperature dependent velocity constraint, Discrete Contin. Dyn. Syst., 35 (2015), 2523–2538. DOI: 10.3934/dcds.2015.35.2523
  17. T. Fukao and N. Kenmochi, Abstract theory of variational inequalities with Lagrange multipliers and application to nonlinear PDEs, Math. Bohem., 139 (2014), 391–399.
  18. T. Fukao and N. Kenmochi, A thermohydraulics model with temperature dependent constraint on velocity fields, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 7 (2014), 17–34.
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学内情報サイト

 京都教育大学、研究者総覧へのリンクです。

学外情報サイト

 それぞれの団体が作成する研究業績情報サイトへのリンクです。

現在受けている研究助成等

日本学術振興会

科学研究費補助金, 基盤研究 (C) (No. 17K05321): 総体積保存則に拘束される偏微分方程式と発展方程式による抽象論的接近, 日本学術振興会, 2017-2020, KAKEN

京都教育大学 平成30年度教育研究改革・改善プロジェクト経費

高大連携によるアクティブ・ラーニング教材の推進事業

これまでに受けた研究助成等

日本学術振興会

科学研究費補助金, 基盤研究 (C) (No. 26400164): 制約条件付き流体方程式と一般化された放物型変分不等式に対する相補性条件の応用, 日本学術振興会, 2014-2016, KAKEN

日本学術振興会

科学研究費補助金, 若手研究 (B) (No. 21740130): 熱水力学に現れる自由境界問題に対する解の制約条件を含む非線形発展方程式の可解性, 2009-2012, KAKEN

日本学術振興会

科学研究費補助金, 若手研究 (B) (No. 18740095): 強い非線形性を拡散項に持つ偏微分方程式系の可解性とその応用, 2006-2008, KAKEN

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財団法人 小川科学技術財団

研究助成金: 高専における実験・測定・予測を伴う数学の教材開発, 2008, 贈呈一覧

京都教育大学 平成29年度教育研究改革・改善プロジェクト経費

高校生との教材開発合同ゼミによる新しい高大接続の模索

京都教育大学 平成28年度教育研究改革・改善プロジェクト経費

高校生との合同ゼミによる数理科学教材の開発と実践

セミナー情報

New Japanese-Polish Joint Project on: Mathematical Modellings and Analyses for Free Boundary Problems

2018  ワルシャワ大学ICM所長 Marek Niezgódka 教授の来日に合わせ Mathematical Modellings and Analyses for Free Boundary Problems が開催されました。

日時: 2018年6月9日(土)13:20-6月10日(日)15:40
場所: 千葉大学工学部 松韻会館
Organizing Committee:
T. Aiki (Japan Women's University, Japan)
A. Kadoya (Hiroshima Shudo University, Japan)
N. Yamazaki (Kanagawa University, Japan)
K. Shirakawa (Chiba University, Japan)
T. Fukao (Kyoto University of Education, Japan)
N. Kenmochi (Chiba University, Japan / ICM, University of Warsaw, Poland)
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第7回非線形発展方程式セミナー@KUE

 第7回非線形発展方程式セミナー@KUEを開催しました。

日時: 2018年5月29日(火)15:00-
場所: 京都教育大学 A棟4階 1A402教室
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数学教育研究会2017

 数学教育研究会2017を開催しました。会議は無事に終了しました。55名の参加者、44件の講演がありました。参加者の皆さんのご協力に感謝致します。

日時: 2017年3月1日(水)--3月3日(金)
場所: あうる京北(京都府立ゼミナールハウス)

第2回数理科学夏季若手研究会

2016  2016年9月8日から9月9日、大学院生を対象とした第2回数理科学夏季若手研究会を開催しました。

日時: 2016年9月8日(木)--9月9日(金)
場所: 京都教育大学 A棟2階 A3教室
開催責任者: 愛木豊彦(日本女子大学理学部)
      深尾武史(京都教育大学教育学部)

京都教育大学平成28年度教育研究改革・改善プロジェクト経費 「高校生との合同ゼミによる数理科学教材の開発と実践」協賛

会議は無事に終了しました。参加者の皆さんのご協力に感謝致します。来年度の研究会にもふるってご参加ください。

第1回数理科学夏季若手研究会

 大学院生を対象とした第1回数理科学夏季若手研究会を開催しました。

日時: 2015年9月8日(火)-9日(水)
場所: 京都教育大学 A棟4階 1A413教室

第12回 高大連携教育フォーラム

 京都高大連携研究協議会主催の第12回高大連携教育フォーラムにて 分科会「高大連携による数学的活動を取り入れた教材の紹介と実践報告」を開催しました。

報告者1: 松田 和真 氏
(京都府立南陽高等学校 教諭)
報告者2: 深尾 武史
(京都教育大学教育学部 数学科)
コーディネーター: 遠山 秀史 氏
(京都府教育庁 指導部 高校教育課 指導主事)
日時: 2014年12月5日(金)15:15-17:15
場所: キャンパスプラザ京都

招待・特別講演

招待講演: Italy I.M.A.T.I. - C.N.R. Applied Mathematics Seminar

 2019年2月13日、パヴィア大学で行われた「Applied Mathematics Seminar」にて講演を行いました。

日時: 2019年2月13日
場所: イタリア パヴィア大学
講演題目: Convergence to equilibrium for the equation and dynamic boundary condition of Cahn-Hilliard type and related topics

In this talk we concerned with the long time behavior of the solution to an equation and dynamic boundary condition of Cahn-Hilliard type with the logarithmic potential. This system is constructed by Cahn-Hilliard system in the bulk and on the boundary, and has a structure of the total mass conservation, namely the volume in the bulk puls the boundary. Firstly we obtain the regularity results and then we can prove the separation property from pure phase. Secondly, we discuss the characterization of the $\omega $-limit set, namely subsequence convergence to an stationary solution. Finally, by applying the extended Lojasiewicz-Simon inequality we can prove that the $\omega $-limit set consists only one point. This study is joint work with Hao Wu (Fudan University, China).

特別講演: 日本数学会 2018年秋季総合分科会 応用数学分科会 特別講演

 2018年9月24日から9月27日、岡山大学で行われた日本数学会 2018年秋季総合分科会 応用数学分科会にて講演を行いました。 評議員並びに関係者各位に厚くお礼申し上げます。ありがとうございました。

日時: 2018年9月26日
場所: 岡山大学
講演題目:総体積保存則に拘束される偏微分方程式と発展方程式による抽象論的接近

特別講演: 第4回数理科学夏季若手研究会

 2018年9月9日から9月10日、名城大学で行われた第4回数理科学夏季若手研究会にて講演を行いました。

日時: 2018年9月9日
場所: 名城大学 天白キャンパス共通講義棟東H-203 教室
講演題目: 正規完全連続作用素のスペクトル分解について

招待講演: 応用数学セミナー

 2018年6月14日、東北大学で行われた「応用数学セミナー」にて講演を行いました。

日時: 2018年6月14日
場所: 東北大学 理学研究科合同A棟8階801室
講演題目: Recent advances in Cahn-Hilliard system with dynamic boundary condition

 本発表では, 力学的境界条件あるいは動的境界条件と呼ばれる境界条件を課した Cahn-Hilliard方程式系の適切性を中心に近年の研究動向について紹介する. 境界条件に時間微分を含むこの種の境界条件を課したCahn-Hilliard方程式系について, 相関数には力学的境界条件下を, 化学ポテンシャルにはNeumann境界条件を課した問題が数多く研究されてきた. これに対し, 近年GalやGoldstein-Miranville-Schimpernaらが提唱した, 境界上でもCahn-Hilliard方程式系を考察するシステムでは領域内部と境界上での相関数の積分量の和が保存するという「総体積保存則」が成立する. この特徴的な性質を下に適切な関数空間を用意し, 発展方程式の抽象論の立場から可解性を論じる. また関連する最適制御問題や Cahn-Hilliard方程式系から退化放物型方程式への接近についても, 証明の着想を紹介する.

招待講演: China復旦大学数学科学学院 数学総合報告会

 2018032018年3月7日、中国上海の復旦大学で行われた 「復旦大学数学科学学院 数学総合報告会」で講演を行いました。

日時: 2018年3月7日
場所: 中国 復旦大学
講演題目: Recent advances in Cahn-Hilliard system with dynamic boundary condition of GMS type

wirtinger In this talk, recent advances in Cahn–Hilliard system with dynamic boundary condition of GMS type is treated. There are various studies of Cahn–Hilliard system with dynamic boundary condition. In 2011, G. R. Goldstein, A. Miranville and G. Schimperna introduced some equation and dynamic boundary condition of Cahn–Hilliard type. This system is constructed by Cahn–Hilliard system in the bulk and on the boundary, and has a structure of the total mass conservation, namely the volume in the bulk puls the boundary. Taking account of this structure, the well-posedness for GMS type was discussed for wider setting of potential in 2015. The first part of this talk is devoted to the above introduction. In the second part, the well-posedness of degenerate parabolic equation with dynamic boundary condition is discussed. The essential idea is to characterize the target degenerate parabolic equation as the asymptotic limit of Cahn–Hilliard system of GSM type. The approximate problem of Cahn–Hilliard systems can be solved with suitable uniform estimates. The growth condition of the maximal monotone graph with related to nonlinear diffusion term is a point of emphasis. The related topics are also treated in the last part. This study is based on the recent joint works with P. Colli (Pavia, Italy).

招待講演: AustriaTrends in variational evolution

 2018022018年2月21日、オーストリア ウィーン大学で行われたワークショップ 「Trends in variational evolution」で講演を行いました。

日時: 2018年2月21日
場所: オーストリア ウィーン大学
講演題目: Recent advances in equation and dynamic boundary condition of Cahn-Hilliard type

wirtinger Variational evolution problems are almost ubiquitous in applications and have been considered in connection with fluid dynamics, phase transitions, thin films, quantum models, nonlinear diffusion and transport problems, chemical reactions, rate-independent phenomena, and material modeling, just to mention a few hot topics. The workshop is intended to present contemporary research directions in variational evolution models and methods.

In this talk, recent advances in equation and dynamic boundary condition of Cahn-Hilliard type are treated. There are various studies of Cahn-Hilliard systems with dynamic boundary condition. In 2011, some equation and dynamic boundary condition of Cahn-Hilliard type (GMS model) was introduced. This system is constructed by a Cahn-Hilliard system in the bulk and on the boundary, d has a structure of total mass conservation, namely the volume in the bulk plus the boundary. Taking account of this structure, the well-posedness for GMS model was discussed for a wider setting of potentials in 2015. The first part of this talk is devoted to the above introduction. In the second part, the well-posedness of a degenerate parabolic equation with dynamic boundary condition is discussed. The essential idea is to characterize the target degenerate parabolic equation as the asymptotic limit of Cahn-Hilliard system of GSM model. The approximate problem Cahn-Hilliard systems can be solved with suitable uniform estimates. The growth condition of the maximal monotone graph related to a nonlinear diffusion term is a point of emphasis. The related topics are also treated in the last part.

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刊行物

Solvability, Regularity, and Optimal Control of Boundary Value Problems for PDEs
In Honour of Prof. Gianni Gilardi

5th

P. Colli, A. Favini, E. Rocca, G. Schimperna and J. Sprekels ed.
Springer INdAM Series, Volume 22
Springer, Cham (2017)
ISBN: 978-3-319-64488-2

This volume gathers contributions in the field of partial differential equations, with a focus on mathematical models in phase transitions, complex fluids and thermomechanics. These contributions are dedicated to Professor Gianni Gilardi on the occasion of his 70th birthday. It particularly develops the following thematic areas: nonlinear dynamic and stationary equations; well-posedness of initial and boundary value problems for systems of PDEs; regularity properties for the solutions; optimal control problems and optimality conditions; feedback stabilization and stability results. Most of the articles are presented in a self-contained manner, and describe new achievements and/or the state of the art in their line of research, providing interested readers with an overview of recent advances and future research directions in PDEs.. (出版社説明文より引用)

 第10章 A Boundary Control Problem for the Equation and Dynamic Boundary Condition of Cahn–Hilliard Type を神奈川大学 山崎教昭教授との共著として担当しました。

Nonlinear Analysis in Interdisciplinary Sciences:
Modellings, Theory and Simulations

5th

T. Aiki, T. Fukao, N. Kenmochi, M. Niezgódka, M. Ôtani ed.
GAKUTO International Series.
Mathematical Sciences and Applications, Volume 36
Gakkotosho, Tokyo (2013)
ISBN: 9784762504617

 2013年11月に開催されました国際会議 The Fifth Polish-Japanese Days on "Nonlinear Analysis in Interdisciplinary Sciences: Modellings, Theory and Simulations"の報告集が出版されました。
 

Dissipative Phase Transitions

5th

P. Colli, N. Kenmochi, J. Sprekels ed.
Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, Volume 71
World Scientific (2006)
ISBN: 9789812566508

Phase transition phenomena arise in a variety of relevant real world situations, such as melting and freezing in a solid-liquid system, evaporation, solid-solid phase transitions in shape memory alloys, combustion, crystal growth, damage in elastic materials, glass formation, phase transitions in polymers, and plasticity. The practical interest of such phenomenology is evident and has deeply influenced the technological development of our society, stimulating intense mathematical research in this area. This book analyzes and approximates some models and related partial differential equation problems that involve phase transitions in different contexts and include dissipation effects. (出版社説明文より引用)

 第5章 Weak solutions for Stefan problems with convections を担当しました。

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